中国剩余定理
例题
人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
分析
首先我们要知道，任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第$N$天达到峰值，则下次达到峰值的时间为是$N+Tk$($T$是周期，$k$是任意正整数)。所以，三个峰值同时出现的那一天($S$)应满足
$N_1,N_2,N_3$分别为为体力，情感，智力出现峰值的日期，$T_1,T_2,T_3$分别为体力，情感，智力周期。 我们需要求出$k_1,k_2,k_3$三个非负整数使上面的等式成立。
想直接求出$k_1,k_2,k_3$貌似很难，但是我们的目的是求出$S$， 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式，$S$满足三个要求：除以$T_1$余数为$N_1$，除以$T_2$余数为$N_2$，除以$T_3$余数为$N_3$。这样我们就把问题转化为求一个最小数，该数除以$T_1$余$N_1$，除以$T_2$余$N_2$，除以$T_3$余$N_3$。这就是著名的中国剩余定理，我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法，时间复杂度可达到$O(1)$。
中国剩余定理
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：
- 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
- 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
- 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？
我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先，我们假设$n_1$是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足$3*k+2(k \ge 0)$ 的一个任意数。 同样，我们假设$n_2$是满足除以5余3的一个数，$n_3$是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设，我们先从$n_1$这个角度出发，已知$n_1$满足除以3余2，能不能使得$n_1+n_2$的和仍然满足除以3余2？进而使得$n_1+n_2+n_3$的和仍然满足除以3余2？
这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有$a\%b=c$，则有$(a+k*b)\%b=c$($k$为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为$c$，那么被除数与$k$倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。
以此定理为依据，如果$n_2$是3的倍数，$n_1+n_2$就依然满足除以3余2。同理，如果$n_3$也是3的倍数，那么 $n_1+n_2+n_3$的和就满足除以3余2。这是从$n_1$的角度考虑的，再从$n_2$，$n_3$的角度出发，我们可推导出以下三点：
- 为使$n_1+n_2+n_3$的和满足除以3余2，$n_2$和$n_3$必须是3的倍数。
- 为使$n_1+n_2+n_3$的和满足除以5余3，$n_1$和$n_3$必须是5的倍数。
- 为使$n_1+n_2+n_3$的和满足除以7余2，$n_1$和$n_2$必须是7的倍数。
因此，为使$n_1+n_2+n_3$的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：
- $n_1$除以3余2，且是5和7的公倍数。
- $n_2$除以5余3，且是3和7的公倍数。
- $n_3$除以7余2，且是3和5的公倍数。
所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数$n_1$，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数𝑛2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数𝑛3，再将三个数相加得到解。在求$n_1,n_2,n_3$时又用了一个小技巧，以$n_1$为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍数模3下的逆元，再用逆元去乘余数。
这里又有一个数学公式，如果$a\%b=c$，那么$(ak)\%b = a\%b + a\%b + … + a\%b = c + c + … + c = k c(k>0)$,也就是说，如果一个除法的余数为$c$，那么被除数的$k$倍与除数相除的余数为$k*c$。展开式中已证明。
最后，我们还要清楚一点，$n_1+n_2+n_3$只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果$a\%b=c$，则有$(a-k*b)\%b=c$”。所以$(n_1+n_2+n_3)\%105$就是最终的最小解。