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常见的损失函数(loss function)总结

搬运自知乎

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损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。

损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。

常见的损失函数以及其优缺点如下：

0-1损失函数(zero-one loss)

0-1损失是指预测值和目标值不相等为1， 否则为0:

$$f(x)= \begin{cases} 1&,& Y \neq f(X)\\\\ 0&,& Y = f(x) \end{cases}$$

特点：

• 0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.

• 感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 $|Y-f(X)|<T$ 时认为相等，

$$f(x)= \begin{cases} 1&,& |Y-f(X)| \geq T\\\\ 0&,& |Y-f(x)| <T \end{cases}$$

绝对值损失函数

绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：

$$L(Y,f(x))=|Y-f(x)|$$

log对数损失函数

log对数损失函数的标准形式如下：

$$L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X)$$

特点：

• log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。

• 健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。

• 逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

平方损失函数

平方损失函数标准形式如下：

$$L(Y|f(X))=\sum\limits_{N}(Y-f(X))^{2}$$

特点：

• 经常应用与回归问题

指数损失函数（exponential loss）

指数损失函数的标准形式如下：

$$L(Y|f(X))=exp[-yf(x)]$$

特点：

• 对离群点、噪声非常敏感。经常用在AdaBoost算法中。

Hinge 损失函数

Hinge损失函数标准形式如下：

$$L(y,f(x))=max(0,1-yf(x))$$

特点：

• hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 $1-yf(x)$ 。SVM就是使用这个损失函数。

• 一般的 $f(x)$ 是预测值，在-1到1之间， $y$ 是目标值(-1或1)。其含义是， $f(x)$ 的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 $|f(x)|>1$ ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。

• 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。

感知损失(perceptron loss)函数

感知损失函数的标准形式如下：

$$L(y,f(x))=max(0,-f(x))$$

特点：

• 是Hinge损失函数的一个变种，Hinge loss对判定边界附近的点(正确端)惩罚力度很高。而perceptron loss只要样本的判定类别正确的话，它就满意，不管其判定边界的距离。它比Hinge loss简单，因为不是max-margin boundary，所以模型的泛化能力没 hinge loss强。

交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)

交叉熵损失函数的标准形式如下:

$$C=- \frac{1}{n} \sum\limits_x [ylna+(1-y)ln(1-a)]$$

注意公式中 $x$ 表示样本， $y$ 表示实际的标签， $a$ 表示预测的输出， $n$ 表示样本总数量。

特点：

• 本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。

二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

$$loss=- \frac{1}{n} \sum\limits_x [ylna+(1-y)ln(1-a)]$$

多分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

$$loss = - \frac{1}{n} \sum\limits_i y_i lna_i$$

• 当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。